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et par conséquent, d’après le sens attaché à f b , 
à 
JJ fdxdy =J dx 
fdy. 
Dans ce premier cas, les deux membres sont finis et 
égaux : le théorème est démontré. 
Deuxième cas. — Supposons, en second lieu, que 
ffdy ne soit pas borné dans CE. 
Commençons par une remarque préalable. Dans ce 
cas, l’intégrale f fdy peut être infinie pour un ensemble E' 
de valeurs de x. Si cet ensemble existe, on pourra le 
supposer de mesure nulle. En effet, dans le cas contraire, 
fdx /fdy serait infinie, mais l’intégrale double le serait 
aussi, car le second membre de l’équation (1) tendrait 
évidemment vers l’infini avec n, donc aussi le premier 
membre qui tend vers l’intégrale double. Nous suppose¬ 
rons donc E' de mesure nulle. 
Posons maintenant 
?(*) = / fdy 
et définissons deux fonctions auxiliaires o n (x) et ¥ n (x, y) 
comme il suit : 
?»(*) = 
*» si 
0, si f ^ n. 
A x » 2/)’ 
0 , 
si 
si 
?ni X ) > 0 
*»(*)= 0 . 
