( 788 ) 
et, à la limite, pour n = oo , 
J dx J f d !i ^ JJ fdxdy. 
Cette seconde relation, comparée à la première, 
entraîne 
les deux membres étant égaux ou tous deux infinis. 
Comme d’ailleurs on peut intervertir l’ordre de x et y 
dans les raisonnements, le théorème est établi. 
*3. Thé©s*èsa»©„ — Si la fonction f(x, y) de signe 
quelconque est sommable dans le rectangle R, on a toujours 
J j fdxdy =/ dx j fdy — j dy J' 
fdx. 
On convient de remplacer f fdy et /fdx par O aux points 
où ces'intégrales riexisteraient pas. 
Ce théorème se ramène au précédent. Si f change de 
signe, on peut toujours poser 
I " fi 
où fi et /* 2 sont nuis ou positifs, fi prenant seulement les 
valeurs positives de f et — f 2 les valeurs négatives. La 
fonction f est dite sommable dans R si chacune des deux 
