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pour un ensemble de points de mesure nulle. Donc 
P y et Q' x existent dans Faire D, sauf pour un ensemble 
de points de mesure superficielle nulle. On peut négliger 
cet ensemble dans le calcul de l’intégrale double. On 
retrouve ainsi, en étendant notre généralisation de l’in¬ 
tégrale (n° 1) aux intégrales doubles, la tormule de Green 
sous la forme habituelle : 
j' P dx Q dy =J'f (Q* — P y)dxdy. 
C D 
On doit négliger au second membre les points où les 
dérivées partielles n’existeraient pas toutes les deux. 
La formule de Green qui ramène une intégrale de contour 
à une intégrale double subsiste donc sans faire aucune 
hypothèse sur l'existence et la continuité des dérivées. Il 
suffit que P et Q aient respectivement leurs nombres dérivés 
par rapport à y et à x finis et sommables (superficiellement) 
dans Vaire intérieure au contour d'intégration (*). 
Ce théorème en donne immédiatement deux autres : 
HO. C©ndièi»n porar qaa’aaiie intégrale curvi¬ 
ligne soia naïiaie. — I. Pour que l'intégrale de Pdx-f-Qdy 
effectuée sur un contour C soit nulle , il suffit que P et Q 
aient leurs nombres dérivés (par rapport à y et x respecti¬ 
vement) finis et sommables dans l’aire D intérieure à C, et 
(*) M. Montel (ouvrage cité, p. 291) établit ce théorème, mais sous 
des conditions moins générales. Il suppose Q* fonction de x à varia¬ 
tion bornée quel que soit y , et P' fonction de y à variation bornée 
quel que soit x. Notre hypothèse permet l’exception pour des ensem¬ 
bles de mesure nulle. 
