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que les dérivées partielles Py et Q x soient égales en tout 
point de D où elles existent simultanément, à l'exception 
d’un ensemble de mesure nulle. 
II. Si ces conditions sont réalisées dans l'aire D, l’inté¬ 
grale effectuée sur une courbe quelconque tracée dans 
l’aire D ne dépendra que de ses limites. 
17. Foaictions aualytiques. — Soient P et Q 
deux fonctions continues de x et de y dans un domaine D 
à contour simple, et 
M = P + Qi 
une fonction de la variable z = x + yi. 
Si l’on trace un contour C dans ce domaine, on aura 
J < *\f(z)dz = j (P dx — Qdy) ■+• i J ~(P dy - 4 - Q dx). 
c c c 
Si P et Q ont leurs nombres dérivés par rapport à x 
et à y finis et sommables dans faire D, on ne les sup¬ 
pose pas bornés, il subira, pour que les deux intégrales 
curvilignes soient nulles, que l’on ait PJ / = Q!,,et P!ç=— Qy 
aux points où ces dérivées existent, ou en tous ces points, 
sauf dans un ensemble de mesure (superficielle) nulle. 
Ces deux relations expriment que les dérivées de f(z) 
dans le sens des x et dans le sens des y sont égales en 
un même point. 
Si ces conditions ont lieu, l’intégrale Jf(z)dz ne 
dépendra que de ses limites sur tout contour tracé dans 
faire D et, par conséquent, f(z) sera holomorphe dans 
faire D. 
1910. - SCIENCES. 
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