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On peut donc formuler le théorème suivant : 
Théorème. — Si les parties réelles et imaginaires P et Q 
d’une fonction continue et uniforme f(z) = P -+- Qi d'une 
variable complexe x -4- yi ont leurs nombres dérivés finis et 
sommables (superficiellement) dans une aire D, on ne les 
suppose pas bornés, il suffit, pour que f(z) soit holomorphe 
dans l'aire D, que les dérivées de f(z), dans le sens des x et 
dans celui des y, soient égales aux points où elles existent 
toutes les deux, ou qu'il n y ait d’exception possible que 
pour un ensemble de points de mesure nulle (*). 
On remarquera que ce théorème ne postule ni la 
continuité ni même l’existence de la dérivée, mais que sa 
conclusion entraîne l’une et l’autre. 
18. Cas où les nombres dérivés ne sont pas 
sommables — Supposons que les dérivées de f(z) 
soient encore les mêmes dans le sens des x et des y là 
où elles existent, mais que les nombres dérivés ne soient 
pas sommables. Dans ce cas, la fonction f(z) ne peut être 
holomorphe dans l’aire D. Nous allons faire quelques 
observations relatives à ce cas. 
Il existe dans l’aire D des points intérieurs à une aire 
infiniment petite où les nombres dérivés ne sont pas 
sommables; désignons par E l’ensemble de ces points 
contenus dans l’aire D. D’après sa définition, cet ensem¬ 
ble E est fermé. 
(*) M. Montel (ouvrage cité) énonce ce théorème sous la condition 
que les nombres dérivés soient bornés, mais il pourrait lui donner la 
même généralité qu’au théorème rappelé dans la note précédente. 
