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De là le lemme suivant : 
On peut toujours couvrir D d’un réseau à mailles car¬ 
rées généralement inégales entre elles, mais aussi petites 
que l’on veut et satisfaisant à la condition suivante : 
chaque maille renferme un point 2 tel que pour tout autre 
point z-\-h du même carré appartenant à l’aire D, on ait 
f(z + h) — f(z) 
h 
rw + H 
I H I < M. 
Ce lemme se démontre exactement comme le principe 
analogue dont M. Goursot fait usage dans sa démonstra¬ 
tion classique. (Voir son Cours d’analyse, t. II.) 
Ceci posé, nous allons montrer que si l’on suppose, 
par impossible, E de mesure nulle, on peut en déduire 
que f(z) est holomorphe dans D, donc que E n’existe pas. 
Il suffit, pour prouver que f(z) est holomorphe, de 
montrer que Jf(z)dz est nulle sur tout triangle C tracé 
dans D. C’est ce que nous allons faire. 
L’ensemble E est fermé et de mesure nulle; donc 
il peut être enfermé dans un nombre limité de carrés 
n’empiétant pas et d’aire totale aussi petite que l’on 
veut (*). 
L’intégrale de f(z)dz effectuée sur le contour triangu¬ 
laire C se réduit à la somme des intégrales effectuées sur 
les contours des carrés intérieurs à C et sur les contours 
des portions intérieures des carrés coupés par C. 
Pour démontrer que l’intégrale sur C est nulle, il suffit 
de montrer qu’elle est inférieure à tout nombre assignable 
(*) Un ensemble fermé de mesure nulle au sens de M. Lebesgue 
est aussi de mesure nulle au sens de M. Jordan, parce que le complé¬ 
mentaire se compose d'un ensemble dénombrable de carrés. 
