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En effet, supposons, par impossible, qu’en parcourant 
l’ensemble entier on ne détermine que m < n + 2 points 
semblables : 
x 0 , x i9 x 2 , ... x m . 
La différence f — P changeant de signe dans l’inter¬ 
valle de deux points consécutifs (&,•_ lf x t ), y admet une 
plus grande racine ^ (n’appartenant peut-être pas à E). 
Nous avons ainsi un ensemble de n h- 1 points au plus : 
tel que, si l’on se borne aux points de E, le résidu 
dû à P n’atteint pas —p entre a et £ 1? n’atteint pas -+-p 
entre et ainsi de suite avec un signe alterné. 
Soit 8 le plus petit écart absolu du résidu avec cette 
limite non atteinte : jB ne sera pas nul puisque E est 
fermé. Formons le polynôme de degré ^ n 
?(æ) = ± e(x — ?,) (x — g 2 ) ... (x — S,J; 
prenons s assez petit pour que le maximum absolu de <p 
dans E soit < 8, et déterminons le signe ambigu de façon 
que le signe de cp dans chacun des intervalles (Ç t -, ^ + 1 ) 
soit celui de la limite +p ou —p non atteinte. (Il suffit 
pour cela de réaliser la condition dans le premier inter¬ 
valle.) Alors le polynôme 
P-f 
fournira partout dans E des résidus < p. Donc P ne serait 
pas le polynôme d’approximation. 
Il résulte de là que l’on peut trouver un ensemble E' 
de n *+- 2 points de E où les résidus sont égaux à p en 
