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points de subdivisions y compris a et b. On peut déter¬ 
miner exactement le polynôme d’approximation P m dans 
l’ensemble E w et son approximation p m dans E m . La 
détermination de P repose maintenant sur la proposition 
suivante : 
Quand m augmente indéfiniment , P m tend vers P, 
p m tend vers p, et l’on peut pour chaque polynôme P m cal¬ 
culer une limite de l'erreur commise . 
En effet, désignons par E m un ensemble d en + 2 points 
de E m dans lequel le polynôme P m est d’approximation. 
L’ensemble E' w varie avec m, mais les distances des 
points de cet ensemble ne tendent pas vers zéro, car 
p m croît avec m (E w ne perdant aucun point) et, par con¬ 
séquent, ne peut tendre vers zéro (n° 8). Il s’ensuit, 
comme on le voit en construisant les polynômes P m par 
la formule de Lagrange au moyen des résidus dans E,' w , 
que les polynômes P m sont des fonctions uniformément 
continues de x, quel que soit m. Donc, pour m infiniment 
grand, leur approximation dans E m diffère infiniment peu 
de celle dans (a, b). Donc p m tend vers p et, en vertu du 
théorème du n° 18, P m tend vers P. 
Reste à évaluer l’erreur commise pour un poly¬ 
nôme P m calculé , donnant l’approximation minimum p m 
dans E' m . 
Soit p m -f- s le plus grand résidu de P m dans (a, b), 
p sera compris entre p m et p m -+- s. 
Cette quantité e sera d’ailleurs inférieure au maximum 
de la somme des oscillations de f et de P m dans l’inter¬ 
valle de deux points de E m . On la rendra donc aussi 
petite qu’on veut en prenant m suffisamment grand. 
Ceci fait, soient uo m , — up m ,... les résidus successifs 
