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CHAPITRE V. 
, POLYNOME D’APPROXIMATION DE \/x. 
PROBLÈME ALGÉBRIQUE. 
«7. — La question de représenter | x | par un poly¬ 
nôme de degré 2n dans l’intervalle (—1, 1) est la 
même, avons-nous vu, que celle de représenter \/x par 
un polynôme de degré n dans l’intervalle (O, 1). 
La détermination du polynôme d’approximation de 1 /x 
(de degré n donné) est un problème algébrique, mais 
dont la résolution paraît très ardue. 
Sans prétendre à la détermination de ce polynôme, 
on peut en indiquer quelques propriétés remarquables. 
Nous désignons le polynôme d’approximation de 1 /x 
par 
P (x) = a 0 -4- a,x a n x n , 
et le résidu par r, de sorte que 
r = l/x — P. 
28. — Nous savons qu’il existe au moins un ensemble E 
de n -h 2 points de l’intervalle (O, 1) dans lequel P est 
d’approximation. La fonction r s’annule donc dans 
chacun des n-*- \ intervalles de ces points où elle change 
de signe. Mais en changeant x en on a 
r û=.' T — o 0 t — ad* — — • • • — 
Mais, d’après le théorème de Descartes, ce polynôme 
ne peut avoir n -+- 1 racines positives que si ses n 2 
coefficients sont différents de O et à signes alternés. 
