A . Demoulin. — Sur les équations de Moutard 
d’où, en intégrant 
(248) 
1 = J) %i z i + 2 
i i 
I = £ Zi*'i — % A + U 4 , 
U A désignant une fonction de u et Y 1 une fonction de v. 
Si l’on égale ces deux expressions de 9, il vient 
(244) 
Ï'»s4‘-7° 
ou, en tenant compte de (239), 
U+V=B_^ 
^22 
d’où, m désignant une constante, 
U A = 2 U + m 
\\ = — 2V -f- m- 
On a, par conséquent, 
* = z i%i + U — V + 1 
(*) Les calculs précédents fournissent une deuxième démonstration du théorème 
démontré au n° 41 : Pour que cp' satisfasse à 1\ quation (e'), il faut et il suffit que 
v? 1 
z\ soit la somme d’une fonction de u et d’une fonction de v. En effet, — étant 
solution de ( e'), pour que cp' satisfasse à cette équation, il faut et il suffit que 
l’expression H^cp', -i-j existe, c’est-à-dire qu’il y ait fonction 0 définie par l’équa¬ 
tion (241). De celle-ci, on a déduit, l’égalité (244); donc la condition est nécessaire. 
Elle est suffisante car si i’égaliié (244- a deu, on peut d- finir une fonction 0 au 
moyen des égalfés (243); celles-ci entraînent les égalités (242), et ces dernières 
expri .teri! que H existe et a pour valeur 20, à une constante addi- 
tive près. 
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