à solutions quadratiques. 
et, en vertu de (240), 
cp = 2 ^ « 4 »; -f U—V-f mjw. 
w étant une solution de (e), il en est de même de | — m w. 
Si l’on tient compte de cette remarque et de la formule 
z\ =jpi- H (z t , w), le résultat que nous venons d’établir peut 
s’énoncer comme il suit : 
Si une équation de Moutard admet p solutions z if ...,z p 
liées par la relation (239), à toute solution z de cette équation 
correspond une solution z de la même équation , définie par 
l f égalité 
(245) * = 2 H (z h , *) + (U — V) *. 
h 
Cette proposition a été signalée par M. Thybaut (*), dans le 
cas où U = Y = 0. Nous allons l’établir par une méthode 
directe et prouver qu’elle constitue une propriété caracté¬ 
ristique des équations de Moutard à solutions quadratiques. 
43. Nous résoudrons d’abord le problème suivant. 
Soient z i , ..., z p p solutions d’une équation de Moutard 
^ désignant une solution de cette équation et 6 une fonction 
inconnue, mais déterminée, posons 
(246) * === £ *»H(**, z) + 9s 
K 
et cherchons à quelles conditions la fonction z satisfera à l’équa¬ 
tion (e), quelle que soit la solution 2 . 
(*) Thybaut, Sur La déformation du paraboloïde et sur certains problèmes qui s y 
rattachent. (Annales scientifiques de l’École normale supérieure, année 1897.) 
21 
