A. Demoulin. -— Sur les équations de Moutard 
Si Y on exprime que 2 satisfait à l’équation (e), il vient 
dz h \ dz 
Z fo - — 
dv J du 
Cette équation, considérée comme déterminant 2 , étant du 
premier ordre, ne saurait avoir lieu pour toutes les solutions 
2 de (e) sans se réduire à une identité •(*). On a donc 
2 2 ** ?*=■■■■ 
* dv dv 
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du 
dudv 
La troisième de ces équations donne 
(-248) 8 = U — V, 
U désignant une fonction de a et V une fonction de v, et des 
deux premières on déduit, C désignant une constante, 
(249) £4 = U + V + 2C. 
h 
Si Ton remplace U par U -j- C et Y par Y -f- C, cette équa¬ 
tion prend la forme (289) et la valeur (248) de 0 ne change 
pas. Donc, pour que la fonction z définie par la formule (246) 
satisfasse à l’équation ( e ), pour toutes les solutions z de cette 
équation, il faut et il suffit que les solutions z lf . z p satis¬ 
fassent à la relation (239) et que 8 ait la valeur (248). 
(*) Pour que l’équation (247) se réduise à une identité, il suffit qu' 
pour trois valeurs z\ z",z ! " de z , ces solutions n’étant pas liées par une 
la forme f(jr> ~r) =0. 
'elle ait lieu 
relation de 
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