A. Demoulin. — Sur les équations de Moutard 
Si l’on tient compte des égalités (258), (24) et (7), la 
formule (257) devient 
(262) z' 1 J 4H (*„' 2 ) - *(D + V) + m*'. 
h 
Portons, dans la première des égalités (259), les expressions 
(245) et (262) de z et de z' ; il viendra 
y? / dZ h 
K \dU dU 
H (%K> Z ) H - ~ ( J) z k z k + 2 z k 2V 
c> u \ h h 
/v? , d Z k . d%k 
— z ■ L % * T" + L 
\h du Y 
+ m ■ 
dz ' 
du 
21 (** — 4) H (**> *) + 2Uz - 
3 o) 
du 
ou, en tenant compte de (7) et de (8) ou (239), 
I 
h 
+ m 
C> Z k 
du 
MA , ,,3“ 
- j w— (z K — %) — 
du 
du 
— + -) w -(a-a') —1 
du duj du J 
tn. 0W IP dZh 
(2L-m) à« + T“ + w ?** 
En vertu des relations (261) et (260), le premier membre de 
cette égalité est nul. Pour établir la première des égalités (259), 
il faut donc prouver que l’on a 
)g+ï- + “?^ 0- 
Or cette égalité se déduit de la relation (15) en remplaçant, 
dans cette dernière, U k par sa valeur w%‘, tirée de (10). 
On établira de même la deuxième des égalités (259). Le 
théorème est donc démontré. 
26 — 
