A. Demoulin. — Sur les équations de Moutard 
48. Soient x lf ..., x' 2p les solutions de ( e ') déduites de 
..., Zp par le procédé qui a permis de déduire de z ± , ..., z p 
les solutions x ± , ..., x 2p de (e). x[, ..., x 2p sont données par 
les formules 
/ Xi — %\ -J- Zi, 
(27°) j x'„ +i = (zl — «JXV— 1» 
( i = 1, 2, 
et l’on a, en vertu de (269) et de (255), 
(27-1) l f x?= ü t + 
i 
x[, ..., x 2p correspondent respectivement à x lf .x 2p dans 
ta transformation T m . En effet, %'• et z , i = 1, 2, ..., p, corres¬ 
pondent respectivement à z t et à z t dans la transformation T m . 
Donc, en raison de la forme des équations qui définissent la 
transformation de Moutard, z[ -|- % et z — z correspondent 
respectivement à z { + z t et à z { — z { dans T w . De cette remarque 
et des expressions (270) et (254) de x\ et de x if 1, 2, ..., 2 p, 
résulte le théorème énoncé. 
49. Des équations (256) et (271), on déduit 
. 1...2 p d...2î? 
( 272 ) 
i i 
Donc, l’équation (e) étant considérée comme admettant les 
2 p solutions quadratiques x ± , ..., x 2p , il y a une transforma¬ 
tion T qui, appliquée à cette équation, donne l’équation ( e '). 
1 ... 22 ? 
Calculons p et, à cet effet, évaluons la quantité xpc'. On a, 
en vertu des égalités (254) et (270), 
J L « »•Jy 
£ XiX'i = 2 ( £ Wi + £ : 
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