L. Godeaux. — Recherches sur les involutions cubiques 
Dans le premier cas, T laisse donc invariante tonte direction 
issue de P; dans le second, il n’y a que deux directions issues 
de P invariantes pour T. 
Partant de là, nous avons construit une surface normale <1>, 
image de l’involuiion I n et, en désignant par point de dirama- 
tion parfaite (ou non parfaite) un point correspondant sur <f> à 
un point de coïncidence parfaite (ou non parfaite) de F, nous 
avons démontré que 
a) En un point de diramation parfaite, <ï> possède un point 
multiple d’ordre n y conique, équivalent, au point de vue des 
transformations birationnelles, à une courbe rationnelle de 
degré — n ; 
b) En un point de diramation non parfaite, possède un 
point double biplanaire formé d’une suite de ^ (n 1) points 
doubles infiniment voisins successifs dont le dernier est bipla¬ 
naire ordinaire. 
Enfin, nous avons déterminé les relations existant entre les 
genres arithmétique et linéaire de F et de d>. 
Le problème qui se pose actuellement est de déterminer les 
conditions nécessaires et suffisantes pour qu’une surface donnée 
d> soit l’image d’une involution d’ordre premier n appartenant 
à une surface algébrique F. Nous avons déjà résolu ce problème 
dans le cas où n est égal à 2 (*). On sait que, dans ce cas, 
M. Severi a démontré que seuls des points de coïncidence 
parfaite peuvent se présenter (**). Dans ce nouveau travail, nous 
traiterons le cas n = 3. La présence, dans ce cas, d’une nouvelle 
catégorie de poinls de coïncidence montre qu’il ne s’agit pas 
d’une extension banale du cas précédent. D’autre part, si nous 
(*) Mémoire sur les surfaces algébriques doubles ayant un nombre fini de points 
de diramation. TAnnai.es de la Fac. des Sc. de Toulouse, 1914.) 
{**> S ulle superficie alaebriche che ammettono un gruppo continuo permutabile a 
due parumetri di trasformazioni birazionali. (Atti R. Isr. Veneto, 1907.) 
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