L. Godeaux. — Recherches sur les involutions cubiques 
Ainsi que nous l’avons montré dans nos Recherches sur les 
involutions..., on peut prendre, comme modèle projectif de la 
surface <ï>, image de l’involulion I 3 , une surface simple, normale, 
située dans un espace linéaire S r à r > 3 dimensions, et possé¬ 
dant, aux a -f- p points de diramation, les singularités suivantes : 
1° Aux a points de diramation parfaite A lf A 2 , A a , des 
points triples coniques à cônes tangents rationnels; 
2° Aux p points de diramation non parfaite B 2 , B^, 
des points doubles biplanaires ordinaires. 
Chacun des a points triples A 1? A 2 , ..., A a est équivalent à 
une courbe rationnelle de degré — 3, que nous désignerons 
par le même symbole que le point considéré. 
Un des points doubles B 2 (0 < i < p) est équivalent à deux 
courbes rationnelles de degré — 2, ayant un point commun, 
courbes que nous désignerons respectivement par B fl , B i2 . 
Les a -|~ 2p courbes rationnelles A 1? ..., A tt , B J4 , B 12 , ..., B^ 2 
sont des courbes fondamentales propres pour le système |Fj des 
sections hyperplanes F de d>. 
Désignons par n le degré du système | F j (ordre de d>), par tc 
son genre. A une courbe F correspond, sur la surface F, une 
courbe C, de genre 3 tc — 2 et de degré 3 n, appartenant à un 
système complet |C|, transformé en lui-même par T (en ce sens 
que T fait correspondre, à une courbe de |C|, une courbe de |C| 
distincte ou non de la première). Nous supposerons que la 
dimension R de | Ci est supérieure à celle, r, de |rj, et nous 
montrerons, dans le paragraphe suivant, que nous n’imposons 
pas en cela une condition restrictive à la surface <b. 
Le système jCj est simple. En effet, s’il était composé, ce ne 
pourrait être au moyen de I 3 , et, par suite, |F| serait également 
composé au moyen d’une involution, ce qui est impossible. 
Le système |C| est dépourvu de points-base, car autre¬ 
ment, | F | posséderait également des points-base, ce qui est 
impossible. 
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