appartenant à une surface algébrique. 
2 . — Supposons pour un moment que jCj et jrj aient la 
même dimension r; nous allons montrer qu’on peut rem¬ 
placer d> par une surface biralionnellement identique, ayant 
pour sections hyperplanes des courbes \kV\ et possédant les 
mêmes singularités que <ï>, mais telle que les courbes qui corres¬ 
pondent, sur F, aux courbes kV, forment un système complet 
plus ample que |A:Fj. 
Le système |/cF| est simple et dépourvu de points-base, de 
même que |Fj. Rapportons projectivement les courbes de |A:F| 
aux byperplans d’un espace linéaire à r k dimensions, r k étant 
la dimension de |/cTj ; nous obtenons la surface <4> Æ , simple, 
normale, birationnellement identique à d>. De plus, les courbes 
A 4 , ..., A a , B J4 , ..., B^ étant fondamentales propres pour |/cF|, 
<t> k possède a points triples coniques, à cônes tangents ration¬ 
nels, et (3 points doubles biplanaires ordinaires. 
. Choisissons maintenant k, de manière que les courbes kT 
soient non spéciales (c’est-à-dire non contenues dans le système 
canonique de <î>). A une courbe k F correspond, sur F, une 
courbe k C. Les degrés et les genres de |/c C |, \kV\ sont respec¬ 
tivement égaux à 
3 
3 k 2 n, 3/en: -|- - k(k — i)n — 3Â: -J- 1 
pour |ftC|, 
1 
k 2 n, kiz -j- - k{k — t)— k-\-l 
Z 
pour \kT\. 
Supposons que \kC\ ait la même dimension r k que \kT\ et 
choisissons k pour que, p a étant le genre arithmétique de F, 
3 
p a -f- — k(k -{- 4 )n — 3fe?u -j- 3 k 
Z 
soit supérieur à 0, ce qui est toujours possible. Alors, d après 
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