L. Godeaux. — Recherches sur les involutions cubiques 
le théorème de Riemann-Roch sur une surface algébrique, 
on a (|A;C| n’étant pas spécial) 
. r* > p a + | k(k + 1 )n- + 3 k. 
Mais les courbes de \kT\ découpent, sur l’une d’entre elles, 
une série linéaire de degré khi et de dimension r k — 1. Si cette 
série n’est pas spéciale, le théorème de Riemann-Roch sur une 
courbe algébrique donne 
1 
r K — 1 = - k(k -f 4)w — kn -f k — 4. 
On a donc 
1 k(k- f-1 )n — kn -f- k > p a -f ^ k(k + 4 )n — 3kn -{- 3 k, 
c’est-à-dire 
p a -f- k(k + \)n — 2fe(Tc — 1) < 0. (4) 
Si cette série est spéciale, le théorème de Clifford donne 
d’où l'inégalité 
P. + Jfc(» + S)«—(2) 
11 est toujours possible de choisir k de manière que les 
inégalités ( I) et (2) ne soient pas vérifiées. Et par conséquent, 
il existe des surfaces pour lesquelles \kT\ est moins ample 
que |AC|. 
Si donc on avait une surface d> telle que r = R, on rempla¬ 
cerait <ï> par une surface d> Æ , k ayant une valeur convenable, et 
l’on se bornerait à changer de notation. 
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