appartenant à une surface algébrique. 
b) L’homographie H possède, dans S R , deux espaces fonda¬ 
mentaux S (0) et S (1) , ce dernier de dimension r ± telle que 
r -f- i\ + 2 = R -f 1. 
Dans S a , H possède deux espaces fondamentaux S (1) , S', et 
l’on doit avoir 
a ' f + r i + 2 = a--|-l=R — r + 1. 
Par conséquent, a-' = 0. 
L’espace S a a donc en commun, avec S (0) , le seul point P. 
Si <y > 2, on a r < R — 2 et l’homographie H ne peut être 
une homologie. L'espace S a contient le plan tangent en P, à la 
surface F et ce plan ne rencontre S (ü) qu’au seul point de 
contact P. 
Le cas <r = i ne peut se présenter. Dans ce cas, en effet, H 
est une homologie, l’espace S (0) est un hyperplan (r = R— 1) 
et, par conséquent, il y a une infinité de points de coïncidence 
pour l’involution I 3 , contre l’hypothèse. 
Observation . — Le cas a- = 1 peut effectivement se présenter 
lorsque la surface F est, par exemple, une surface triple, mais 
ici, nous avons construit une surface F simple, ou plutôt un 
modèle projectif simple de F. 
5. — Examinons de plus près la manière dont se comporte 
le plan tangent à F en un point de coïncidence. 
Soit tout d’abord P un point de coïncidence non parfaite. 
L’homographie H échange entre elles les tangentes à F en P et 
en laisse deux invariantes. Soient t if t 2 ces deux tangentes. H 
transforme donc le plan tangent t à F en P en lui-même et 
donne naissance, dans ce plan, à une homographie h de 
période 3. Le plan t n’ayant qu’un seul point commun P avec 
l’espace fondamental S (0) , l’homographie h détermine sur t i et 
sur t 2 des involutions cubiques cycliques possédant chacune, 
1921. SCIENCES. 
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