L. Godeaux. — Recherches sur les involutions cubiques 
outre P, un point de coïncidence. Désignons ces deux points 
respectivement par P 1? P 2 . h ne peut être une homologie, car 
alors toutes les tangentes à F en P seraient invariantes pour h 
et, par suite, pour H. h est donc une homographie cubique 
cyclique présentant trois points fondamentaux P, P ± , P 2 , et 
trois seulement. Les points P A , P 2 appartiennent nécessairement 
à des espaces fondamentaux de H dans S R , et ces espaces sont 
distincts. En effet, si P 15 P 2 appartenaient au même espace fon¬ 
damental, la droite P 1 P 2 serait une droite fondamentale pour h 
et cette homographie serait une homologie, ce qui est impos¬ 
sible. Par conséquent, si (3>0, H doit posséder trois espaces 
fondamentaux S (0) , S (1) , S (2) . En chaque point de coïncidence non 
parfaite, les deux tangentes invariantes rencontrent, l’une S (1) , 
l’autre S (2) . 
Supposons maintenant que P soit un point de coïncidence 
parfaite. Alors, H transforme en elle-même chaque tangente à 
F en P et détermine, dans le plan t tangent à F en P, une 
homographie h de période 3. Chaque tangente à F en P étant 
invariante pour H (et par suite pour h) et ne rencontrant S (0) 
qu’en un point P, possède un second point invariant pour H (et 
pour li). Par suite, h est une homologie. L’axe d’homologie 
de h dans le plan t se trouve dans un second espace fonda¬ 
mental de H dans S R . S’il existe un troisième espace fondamen¬ 
tal de H dans S R , le plan t ne peut évidemment pas le rencontrer. 
En résumé : En un point de coïncidence non parfaite, le plan 
tangent à F ne rencontre pas $ (0) en dehors du point de contact . 
Ce plan tangent a un point (et un seul) commun avec les (néces¬ 
sairement deux) autres espaces fondamentaux de H dans S R . 
En un point de coïncidence parfaite, le plan tangent à F ne 
rencontre pas S (0) en dehors du point de contact. Ce plan tangent 
rencontre un second espace fondamental de H dans S R en une 
droite et ne rencontre pas le troisième, si celui-ci existe. 
De ces propriétés, nous allons déduire l’existence d’un ou 
de deux nouveaux systèmes linéaires sur la surface <F. 
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