appartenant à une surface algébrique. 
Si l’on compare l’égalité précédente aux égalités trouvées 
plus haut, on voit qu’en faisant, dans la première de cePes-ci, 
P = 0, oq = 0, on retrouve celle-là. Nous basant sur cette 
remarque, nous réunirons dans un seul énoncé les résultats 
obtenus dans les deux derniers paragraphes. 
Si une surface simple, normale, est l’image d’une involution 
d’ordre 3, ayant un nombre fini de points de coïncidence, appar¬ 
tenant à une surface algébrique, parmi les hyper surfaces décou¬ 
pant, sur cette première surface , le système triple de celui des 
sect'ons hyperplanes, et passant par les points de diramation, 
il en existe, en général , qui osculent la surface suivant une 
courbe d’ordre n. 
Nous écrivons « en général » pour tenir compte de l’hypo¬ 
thèse faite sur d>, à savoir que la dimension r du système |T| est 
inférieure à celle, R, de |C|. 
9, — Inversement, soit d> une surface algébrique d’ordre n , 
simple, normale, située dans un espace linéaire S r , à r > 3 
dimensions, et telle que : 
a) Elle possède a points triples coniques à cônes tangents 
rationnels; 
b) Elle possède (3 points doubles biplanaires ordinaires; 
c) Parmi les bypersurfaces découpant, sur (b, le système 
triple de celui des sections hyperplanes, il y en ait une oscil¬ 
lant <b en chaque point d’une courbe Y 1 d’ordre n, passant dou¬ 
blement par oq points triples, simplement par les a — oq points 
triples restants et par les (3 points doubles. On convient de 
plus de poser oq = 0 si (3 = 0. 
Nous allons démontrer qu elle représente une involution l 3 , 
d’ordre 3, ayant un nombre fini de points de coïncidence, 
appartenant à une surface algébrique F. 
Adoptons, pour désigner les courbes rationnelles auxquelles 
sont équivalents les a -f- (3 points multiples de d>, les mêmes 
— 119 
