appartenant à une surface algébrique. 
11. — Plaçons-nous maintenant dans le second cas. Les 
hypersurfaces cubiques de S r sont en nombre oc 6?0 +Lr + 11) L a 
dimension r 3 du système |3r| est donc telle que 
1 
r 3 > -r(r 2 -f 6r-f il), 
b 
Considérons la surface birationnellement identique à <ï>, 
simple et normale, dont les sections hyperplanes sont les 
courbes kT, située dans un espace linéaire à r k dimensions. 
Comme nous l’avons déjà remarqué plus haut (§ 2), <ï> Æ possède, 
aux points de diramation, les mêmes singularités que <!>. Nous 
allons démontrer que l’on peut prendre k suffisamment élevé 
pour que les hypersurfaces cubiques de l’espace S Vh découpent, 
sur <ï> Æ , le système 13/^r| complet. Pour cela, il nous suffira de 
démontrer que T on peut prendre k assez grand pour avoir 
r 3h <-r K (r% + 6r* -f 11). 
0 ) 
Supposons d’abord k suffisamment élevé pour que \kT\ soit 
non spécial et soit n a le genre arithmétique de <ï>. D’après le 
théorème de Riemann-Roch sur une surface algébrique, on a 
t'K —' 
k(k + 1) 
n — k( 7i — 1). 
( 2 ) 
Le système \Skr\ a le degré 9k 2 n et le genre 
Considérons la série linéaire d’ordre 9 k 2 n et de dimension 
r sk — l découpée sur une courbe 3kY par les autres courbes du 
système \SkV\, r 3k étant la dimension de ce système. Si cette 
