L. Godeaux. — Recherches sur les involulions cubiques 
série est non spéciale, le théorème de Riemann-Roch sur une 
courbe algébrique donne 
3 k($k + i) 
-1 = 
(3) 
Si, au contraire, cette série est spéciale, le théorème de 
Clifford donne 
9ft 2 
r 3k — 1 < — n. (4) 
Portons, dans l’inégalité (1), la valeur minimum de r k donnée 
par (2) et la valeur de r 3k donnée par (3). 11 est clair qu’on 
pourra toujours trouver une valeur de k telle que cette inégalité 
soit vérifiée. Il en sera de même si l’on remplace, dans (1), 
r k par sa valeur minimum tirée de ( 2 ) et r 3k par sa valeur maxi¬ 
mum tirée de (4). Ainsi se trouve démontrée notre assertion. 
Pour pouvoir appliquer à la surface <b A ., ainsi construite, le 
théorème démontré au paragraphe 10 , il faudrait connaître, sur 
cette surface, une courbe telle que 
3*r = sr* + 2 £ A, + i A, + £ B* + 2£ B*. 
1 oh-H 1 1 
Alors, r ± * est d’ordre k 2 n (sur la surface <fr k ) et il y a une 
hypersurface cubique de qui oscule <f> Æ en chaque point de 
cette courbe. Or, nous avons trouvé plus haut que les condi¬ 
tions auxquelles est assujettie la surface (§ 9) entraînent la 
relation 
3r es 3I\ + 2 £ A* + £ A* + £ + 2 £ B i2 . 
J a,+l i 1 
Comparant ces deux égalités fonctionnelles, on voit qu’il 
suffit de prendre 
rjj = (k — i) r -j- r 4 , 
courbe qui existe effectivement. 
Ainsi se trouve complètement démontré le théorème énoncé 
au début de ce travail. 
m 
