Géométrie. — Une courbe du troisième ordre 
associée à un triangle, 
par Clément SERVAIS, membre de l’Académie. 
§ 1 er . — Un groupe de trois triangles. 
1. Toute droite rencontrant les tangentes à une parabole (P) 
et les perpendiculaires menées à ces droites par un point donné 
de la directrice suivant deux ponctuelles involutives est tangente 
à la courbe (P). 
2. Soient ABC, A 1 B 1 C 1 deux triangles homologiques et 
orthologiques; O, leurs centres d’orthologie respectifs; 0 2 , s 
le centre et l’axe d’homologie; L ==■ (B G, B l C A ), M = (CA, C^J, 
N == (AB, A^BJ. Les triangles ABC, A 1 B 1 C 1 sont réciproques 
relativement à une conique D conjuguée aux éléments (0 2 , s). 
Cette conique sera dite associée aux deux triangles AB C, A 1 B 1 C 1 . 
L’enveloppe des polaires du point O [ou O J relativement aux 
coniques homofocales à S est une parabole (P) [ou (P A )] inscrite 
dans le triangle ABC [ou A 1 B 1 C 1 ] ; la directrice de cette para¬ 
bole passe par le point O [ou OJ. Les côtés opposés du qua- 
drangle complet OA 1 B 1 C 1 déterminent sur l’axe d’homologie s 
trois couples de points LL', MM', NN', conjugués en involution. 
Par suite (1) la droite s est tangente à la parabole (P) et par 
analogie à la parabole (P 1 ). Le lieu des pôles de la droite 00 A 
relativement aux coniques homofocales à S est donc la droite O 0 A . 
Ce lieu est normal à s et passe par le point 0 2 pôle de s relati¬ 
vement à I. Par suite 
Si deux triangles ABC, A 1 B 1 G 1 sont homologiques et ortho- 
logiques, les deux centres d 9 orthologie O, 0 1 et le centre d’homo- 
