C. Servais. — Une courbe de troisième ordre 
inscrite au triangle ABC et ayant pour directrice la droite 
d’Euler de ce triangle rencontre la cubique S en deux points 
0 ', 0' tels que les cercles circonscrits aux triangles AgB'C', 
A'B'C [déduits de ces points (9) sont égaux. 
11. Le cercle circonscrit au triangle ABC rencontre la 
cubique 2 en trois points distincts de A, B, C : l’un d’eux étant 
désigné par 0 2 , les droites 0 2 A, 0 2 B, 0 2 C rencontrent les 
médiatrices a, /?, c respectivement aux points A 15 B 1 , C x . On 
a (5) 
0 2 A. OA = 0 2 B. OA. 
et la circonférence ABC est la transformée inverse de la droite 
AjBj. La tangente au pôle d’inversion 0 2 à cette circonférence 
est parallèle à la droite A 1 B 1 et par analogie aux droites B^, 
C^. Les trois points A 1? B 1? C A sont donc en ligne droite et 
le centre d’orthologie 0 1 du triangle A 1 B 1 C 1 (6) est à l’infini 
sur la droite Ü0 2 et sur la courbe 2. La droite A 1 B 1 C 1 est donc 
normale à Ü0 2 . Par conséquent 
Les directions asymptotiques de la cubique £ menées par le 
centre du cercle circonscrit au triangle ABC rencontrent le cercle 
en des points de la courbe £. 
Les droites joignant l’un quelconque 0 2 de ces points aux som¬ 
mets du triangle ABC rencontrent les médiatrices a, b, c en trois 
points A a , B 1? C* situés sur une droite normale à la direction 
asymptotique 0Ü 2 . 
Les droites menées par les sommets du triangle ABC paral¬ 
lèlement ci une direction asymptotique de la courbe £ rencontrent 
les médiatrices a, b, c respectivement aux points A 2 , B 2 , C 2 . 
Les perpendiculaires abaissées des sommets du triangle ABC 
sur les côtés correspondants du triangle A 2 B 2 C 2 concourent en 
un point 0 2 du cercle circonscrit ABC. La droite 0 0 2 est paral¬ 
lèle ci la direction asymptotique considérée. Les triangles ABC, 
A 2 B 2 C 2 sont symétriques relativement à la droite A 1 B 1 C^. 
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