associée à un triangle. 
12. La courbe S est la cubique des inverses relative au 
centre O du cercle circonscrit au triangle ABC (*). Les centres 
des cercles tritangents forment sur X un quadruple dont O est 
le tangentiel. La conique polaire 12 du point O par rapport à S 
passe par les centres de ces quatre cercles ; par les conjugués 
harmoniques O a , 0 6 , O c , A*, C t du point O relativement aux 
couples de points (A, A'), (B, B'), (C, C'), (4) (w a , w a ), (w 6 , c*^), 
(w c , w') (5); elle est tangente en O à la droite OH. Les foyers 
de la conique inscrite au triangle ABC et ayant pour centre le 
point O appartiennent à la cubique E ; les axes de cette conique 
sont donc des directions asymptotiques de 12. Les points A É ,B*, C t 
sont les sommets du triangle tangentiel de ABC et la courbe 12 
est l’hyperbole de Feuerbach (A f B f C f O) (**). Par suite 
Si O est te centre d’un cercle tritangent à un triangle A t B t C t ; 
A, B, C les points de contact , l’hyperbole de Feuerbach 
(A t B t C t O) passe par les centres des cercles tritangents au 
triangle ABC. Elle est tangente en O à la droite d’Euler du 
triangle ABC. Si l’on désigne par AC B', C' respectivement les 
points 
(OA, BC), (OB, CA), (OC, AB), 
l’hyperbole de Feuerbach passe par les conjugués harmoniques 
du point O relativement aux couples (A, A'), (B, B'), (C, C'). 
Ses asymptotes sont parallèles aux axes de la conique inscrite 
au triangle ABC et ayant pour centre le point O. 
13. Si I est le centre d’un cercle tritangent au triangle ABC, 
on peut choisir (6) 0 A = () 2 = ï; le triangle A 1 B 1 C 1 (6) est 
inscrit dans le cercle ABC. Par suite 
Si I est le centre d’un cercle tritangent au triangle ABC, les 
(*) Boutin, Journal de mathématiques spéciales, 1889, p. 265. — Weber, Nouvelles 
annales de mathématiques. Paris, 1906, p. 61. — Weill, N. A. M ., 1880, p. 259. — 
Fontené, N. A . M., 1905, p. 504; 1906, p. 55. — Thébault, N. A. M., 1919, 
p. 472. — Goop.machtigh, Mathesis, 1914, p. 122. 
(**) J. Neuberg, Mathesis. 1893, pp. 81-89. 
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