A. Demoulin . — Sur la surface minima d’Enneper. 
une infinité de fois par toutes les valeurs réelles non inférieures 
à e lf et si le point u parcourt l’axe des quantités purement 
imaginaires, pu prend une infinité de fois toutes les valeurs non 
supérieures à e ± . 
D’après cela, comme on a posé t = pu , on satisfera à l’iné¬ 
galité (16) en faisant varier u de —■ oo à + oo . 
Démontrons maintenant que, pour cette variation de u , les 
expressions (15) et (14) de p et de w seront réelles, si l’on a 
pris pour p. un nombre réel. 
D’abord p sera réelle, car pu est > e t qui est > |* 
w sera aussi réelle. En effet, on peut prendre pour a une 
valeur purement imaginaire, car ^ étant <e l7 pu passera une 
infinité de fois par la valeur | lorsque u décrira l’axe des quan¬ 
tités purement imaginaires. Cette remarque faite, reportons- 
nous à l’expression de w. u étant réelle et a purement imagi¬ 
naire, les arguments u — a et u -f- a sont imaginaires conjugués ; 
donc (u — a) et <y(u -\- a) sont aussi imaginaires conjugués 
et le logarithme de leur quotient est purement imaginaire. 
D’autre part, a étant purement imaginaire, il en est de même 
de Ça et, par suite, u étant réelle, de 2aÇa. Il résulte de cette 
discussion que la quantité entre crochets est purement imagi¬ 
naire; donc son produit par est réel et, p étant réelle, il en 
est de même de w. 
En résumé, si l’on donne à X et à p des valeurs réelles, en 
faisant varier u de — oo à — oo , on obtiendra pour p et w des 
valeurs réelles et, par suite, une géodésique réelle. 
IL 
Déterminons les surfaces de révolution applicables sur la 
surface minima d’Enneper. À cet effet, établissons d’abord les 
équations qui définissent les surfaces de révolution admettant 
le ds 2 (3). 
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