A, Demoulin. — Sur la surface minima d'Enneper. 
. Donc les formules (24) deviennent 
I x = m \/pu — e y (pu + 1 — e y ) cos — » 
m 
_ 
y = m \pu — e y (pu + 1 — e y ) sin — • 
m 
Cherchons les valeurs de m auxquelles correspondent des 
surfaces de révolution réelles. 
Nous rappellerons d’abord quelques propriétés de la fonc¬ 
tion pu considérée ici. Comme elle est à discriminant positif, 
elle possède un couple de périodes primitives 2^, 2w 2 telles 
que 2(1)4 soit réelle et 2w 2 purement imaginaire. Soit 2w 3 une 
troisième période telle que 
—j— (Og —j— (1)3 = 0 » 
Si l’on pose 
pw 1 = <?i, pw 2 = e 2 , pw 3 = <? 3 , 
e i} e 2 , e 3 sont les quantités e a , e^, e y définies plus haut, et l’on a 
Ci > e 3 > e 2 . 
Portons, sur l’axe des quantités réelles, un segment OA égal 
à u) 1 et, sur l’axe des quantités purement imaginaires, un 
segment OB égal à jw 2 |, puis construisons le rectangle OACB. 
Si le point u parcourt le contour OACBO, pu est réelle et 
décroît de + qo à — oo , en prenant respectivement aux points 
A, C, B, les valeurs e 15 e 3 , e 2 . 
D’après une remarque faite plus haut, il suffira de faire varier 
m de 0 à -)- oo . Nous aurons à examiner trois cas : premier cas : 
m < | ; deuxième cas : | < m < 1 ; troisième cas : m > 1. 
Premier cas : m<~. t' et t" sont <0; donc, d’après les 
formules (29), e a et e p sont <e y et, par suite, e y = e i . 
La formule (32) s’écrit donc, dans ce cas, 
(34) p 2 = pu — e ± . 
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