C. Servais . — Groupe de trois tétraèdres bilogiques cayléens. 
(P a Ps, PpPy) jouit de la propriété d'être le pôle du plan 
correspondant cr relativement à la quadrique fondamentale <ï>. 
16. Lorsque le point O décrit un rayon r du système réglé 
(h a h b h c h d ), le plan correspondant cr (13) détermine sur chacune 
des arêtes du tétraèdre AB CD une ponctuelle projective à la 
ponctuelle (O). Le plan a- enveloppe donc une cubique gauche 
inscrite au tétraèdre AB CD. La développable osculatrice à cette 
courbe est circonscrite à l’hyperboloïde des co-hauteurs du 
tétraèdre AB CD (14). Cette cubique ne peut être équilatère 
cayléenne de seconde espèce (4, Corol. 14) ; par suite, les rayons 
du système réglé ( h a h b h c hd ) sont des axes de cette cubique. 
Ainsi 
Si le point O décrit un rayon r du système réglé (h a h b h c h d ), 
le plan a- correspondant (13) enveloppe une cubique gauche non 
équilatère inscrite au tétraèdre AB CD et ayant pour axes les 
rayons de ce système réglé. 
17 . Soient a-, <r f les plans osculateurs à cette cubique passant 
par le rayon choisi r; 0,0' leurs points correspondants (13) ; 
S, S' leurs pôles par rapport à la quadrique fondamentale <b. 
Les plans polaires des points 0,0' relativement à la quadrique <3> 
sont respectivement les plans correspondants (13) des points 
S, S' (14). Ces plans passent par S et S'. Les plans sont 
tangents aux deux hyperboloïdes (h a h b h c h d ), Çh' a h' b h' c h ' d ) (4) et 
les points S, S' sont communs à ces surfaces. Donc 
Le lieu des points 0 situés dans leurs plans correspon¬ 
dants a- (13) est la biquadratique commune à l’hyper boloïde des 
hauteurs (h a h b h c h d ) et à celui des co-liauteurs( h' a h' b héhd). 
18. Étant donnés un tétraèdre AB CD et un point 0 de 
l’hyperboloïde des hauteurs cayléennes ( h a h b h c h d ); par ce point 
on mène la directrice s du système réglé (h a h b h c h d ) et les 
perpendiculaires 
a ~ 0P a b = OŸp c = OF y d = OP* 
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