Théorie des nombres. — Sur les théorèmes 
de Fermât et d’Euler, 
par M. STUYVAERT, correspondant de l’Académie. 
« Le théorème de Fermât généralisé (ou th. d’Euler) est beau- 
» coup moins intéressant que la proposition simple. Il ne four- 
» nit pas, en effet, de congruence qui soit vérifiée pour toute 
» valeur de la variable sans être une identité, tandis que c’est, au 
» fond, ce qui constitue l’importance du théorème de Fermât. » 
(E. Borel; J. Drach, Théor. des nomb. et Alg. supér., p. 21.) Du 
théorème de Fermât on conclut effectivement que le polynôme 
xP— 1 — \ est = 0 (mod. p) pour toute valeur de x non con¬ 
grue à 0 (mod. p) ou que xV — x est =0 pour toute valeur, 
même nulle de x. On tire de là deux séries de conséquences : 
1° Puisque le module est premier, xP~ 1 — 1 divisible sépa¬ 
rément suivant le module p par x — 1 , x — 2 ... x — (p — I) 
est congrue à leur produit; par suite toute congruence qui a 
autant de racines que l’indique son degré a son premier membre 
diviseur (mod. p) de xV — 1 — 1 (de xV—x si l’on compte la 
racine 0) ; que pour avoir les racines de fx == 0 on peut appliquer 
l’algorithme d’Euclide à fx et à xP~ 1 — 1 (ou xP — x) ; enfin 
que si un polynôme est congru à zéro (mod. p) pour toute valeur 
de x, son premier membre est le produit de xP — x par un autre 
polynôme arbitraire. Tout cela ne résulte pas seulement de ce 
que xP — x a p racines, mais de ce que p est premier, de sorte 
que si un polynôme est divisible (mod. p) par x — a et x — p, 
il l’est par leur produit. 
2° En remplaçant xP + k par x k + 1 on abaisse au-dessous de p 
le degré de toute congruence, sans altérer les racines, mais en 
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1921 . SCIENCES. 
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