M. Stuyvaert. — Sur les théorèmes de Fermât et d'Euler. 
changeant peut-être leur degré de multiplicité. Ceci tient à la 
circonstance que le premier coefficient de xP — x est l’unité, 
circonstance sans intérêt dans l’hypothèse du module premier, 
puisque le cas contraire, on le sait, se ramène toujours à celui-ci. 
Dans le passage cité de E. Borel et J. Drach, la vérité et 
l’erreur s’entremêlent d’une façon assez difficile à débrouiller. 
En réalité, contrairement à leur assertion, le théorème de Fermât 
généralisé peut fournir une congruence qui soit vérifiée par 
toute valeur de la variable sans être une identité; E. Lucas (*) 
l’avait indiquée : si le module n décomposé en facteurs premiers 
est a a 6Pcï ..., on a 
x *+P+y+- (xfin) —1);= 0 (mod. n) 
pour toute valeur de x, car pour tout x premier avec «, 
xv^ 7 -) — 1 est multiple de a a , donc aussi x9( n ) — 1 qui est un 
multiple algébrique de xv( aX ) — 1 ; et pour tout x multiple de a , 
x a et a fortiori Æ a + P + ïH— est multiple de a a ; de même 
l’expression précédente est, pour tout x, multiple de 6P, de cï,... 
donc de n. 
Signalons ici une simplification évidente : au lieu de l’expo¬ 
sant a + (3 -f- y -f- ... on peut mettre le plus grand des nom¬ 
bres a, [3, y, ... 
Qu’on ne puisse pas tirer de là des conséquences analogues 
à la première série de corollaires du théorème de Fermât, cela 
tient, répétons-le, à ce que le module est composé. 
Quant à la seconde conséquence, elle se généralise : la con¬ 
gruence de E. Lucas permet d’abaisser le degré de toute 
congruence au-dessous de <p(n) -j- a -|- (3 + y -f- ... (en conser¬ 
vant les racines, mais non leur multiplicité). 
Ce .nombre cp(/?,) -f- oc [3 —(— y —|— -est en général plus 
petit que n , car parmi les nombres 1, 2, 3, ... n , il y en a cp(n) 
(*) Mathesis, 1891, p. 9. 
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