M. Stuyvaert. — Sur les théorèmes de Fermât et d'Euler. 
qui sont premiers avec n \ puis il y a les a puissances successives 
de les (3 puissances de h, etc., et en outre, il y a des multiples 
communs de a et b, a et c, ... Ces derniers nombres font défaut 
si n n’a qu’un facteur premier, mais alors encore cp(a a ) -j- a = 
a a — a a — 1 _|_ a es t toujours plus petit que a a , à moins que 
l’on n’ait a = \, ce qui est exclu parce qu’alors le module est 
premier, ou a = 2 et a = 2, alors n = 4. [En effet a a — 1 — a = 
(a — 1 —(— 1 ) a — 1 — a 5>* (l-)-^) a “ 1 — a et le développement 
du binôme donne a termes, tous >1 ; le signe = n’est réalisé 
que si a — 1 = 1 et a — 1=1.] 
Bref si n a toute autre valeur que 4, la congruence de E. Lucas 
a plus de racines que ne l’indique sondegré; son premier mem¬ 
bre est divisible (mod. n.) par x, x — 1, x — % ... x — n , 
mais pas nécessairement par le produit de deux de ces binômes. 
Dans le cas de n = 4, elle a autant de racines que l’indique son 
degré. 
La simplification que nous avons indiquée plus haut permet 
d’abaisser le degré de toute congruence au-dessous de cp(n) -f- 
si a est le plus grand des exposants a, (3, y, ... 
Le passage de E. Borel et J. Drach doit donc être corrigé 
comme suit : « le théorème de Fermât généralisé peut conduire 
» aussi à des congruences vérifiées pour toute valeur de x, mais 
» elles sont moins intéressantes parce qu’on ne peut pas en tirer 
» une foule de conséquences qui exigent que le module soit pre- 
» mier. » 
Au fond l’observation de E. Borel et J. Drach tend à montrer 
que, pour avoir les polynômes divisibles par n pour tout x, le 
théorème d’Euler est superflu, que le théorème de Fermât suffit. 
Voici comment ils déterminent (Note à la fin du volume) au 
moyen du seul théorème de Fermât tous les polynômes divi¬ 
sibles par a a , a étant premier. 
Les polynômes suivants jouissent évidemment de cette pro¬ 
priété : 
a x ~ i (x a — x), a x ~ 2 (x a — x ) 2 , ••• ( x a — x)*\ 
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