M. Stuyvaert. — Sur les théorèmes de Fermât et d’Euler. 
la somme de leurs produits par des polynômes arbitraires 
représente tous les polynômes cherchés si a -f- 1 a. On le 
démontre par induction complète, car pour a = 1, on a la con¬ 
gruence de Fermât. Soit donc 
(æ) = 0 (mod. a x+i ) 
une congruence vérifiée pour tout x, donc aussi 
cp(Æ) = 0 (mod. a*) 
et, par hypothèse, le théorème est vrai pour l’exposant a; 
<P 0») = V n“~ K (x a — x) K f k (x) + a% ( x) ; 
k=i 
les f sont des polynômes arbitraires x 0 . Soit x 0 une valeur de x; 
alors 
— x 0 = a\ o, 
où £ 0 est entier; d’où 
(®0 + aX) a — (x 0 + ak) = 
(æ 0 + aX) a — (, x 0 + ak) = a (Ç 0 — k) (mod. a 2 ), 
= a(i 0 —X) + ya 2 , 
a*- h [(x 0 + ak) a — (, x 0 + ak)] K = a a (£ 0 — k) h + des termes en a a+1 
= a* (5o — k) h (mod. a K+i ); 
d’autre part 
h (Xo + ak) = U (x 0 ) (mod. a) ; 
donc 
Xq Xq ... 
OU 
«5» 
— ak 
a , 
+ - ahsg~ l . 
.. ou 
Ma 2 
+ ••• 
ou 
Ma 2 , 
cp (x 0 + ak) - £ (5o — k) h f h (x 0 + ak) (mod. a a+l ) 
I] a *(ïo ~ kf f n fa) + a«+h\ 
= É «“(So — k) h f h (x 0 ). (mod. a a+1 ). 
,k=o 
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