C. Servais. — Tétraèdres réciproques orthologiques. 
équilatère (ABCDO) et passant par la directrice s du système 
réglé (h a h b h c h d ) issue du point O rencontre une seconde fois 
les droites a, b, c, d en des points Aï, Bï, Cï, D'ï tels que les 
tétraèdres ABCD, AÏBÏCÏDÏ sont réciproques relativement à 
une sphère de centre O. 
Dans ce cas les points O, OÏ, centres d’orthologie des 
tétraèdres ABCD, AÏBÏCÏDÏ, sont nécessairement identiques. 
Donc 
La directrice s du système réglé (b a h b h c h d ) est aussi une direc¬ 
trice du système réglé des hauteurs du tétraèdre AÏBÏCÏDÏ (2). 
Les rayons de ces systèmes issus du point O sont tangents à 
la quadrique (AAï, BBÏ, CCÏ, DDÏ). 
11. Les propriétés (1), .(2), (3), (4), (5), (7) subsistent en 
géométrie cayléenne; la démonstration (1) subit seule une 
légère modification pour établir que le centre d’orthologie O 
du tétraèdre ABCD appartient à l’hyperboloïde des hauteurs 
cayléennes de ce tétraèdre. 
Soit PaPpPyPs le réciproque du tétraèdre ABCD relative¬ 
ment à la quadrique fondamentale d>; les droites A t P a , B 4 Pp, 
C A Py, D a Ps concourent au centre d’orthologie O du tétraèdre 
ABCD. L’enveloppe des plans polaires du point O relativement 
aux quadriques du faisceau tangentiel (S, <t>) (quadriques homo- 
focales cayléennes de 21) est une cubique gauche (P) osculatrice 
aux faces du tétraèdre ABCD et à celles du tétraèdre conjugué 
QQ d Q 2 Q 3 commun aux quadriques (2 <t>) (tétraèdre principal 
cayléen de 2). 
La polaire réciproque de (P) relativement à la quadrique d> 
est une cubique gauche F circonscrite aux tétraèdres P a PpPyPs, 
ÛQ 1 Q 2 ü 3 et passant par le point O. Elle est équilatère cayléenne 
et appartient à l’hyperboloïde des hauteurs cayléennes 
(APJ, BP p , CP r , DP*) 
des tétraèdres P a PpPyPs, ABCD. 
