Géométrie infinitésimale. — Sur les surfaces cerclées, 
par A. DEMOULIN, membre de l’Académie. 
1 . Imaginons une surface engendrée par un cercle T dépen¬ 
dant d’un paramètre u . Soient A, B, G les intersections de T et 
de trois trajectoires orthogonales quelconques des différentes 
positions de ce cercle, et D le point de T qui est conjugué har¬ 
monique de G par rapport aux points A et B. 
Désignons par S 4 , S 2 deux sphères orthogonales quelconques 
passant par T; par S 5 et S 4 les sphères qui coupent orthogona- 
lement T, la première aux points A, B, la seconde aux points 
C, D ; et par S 3 la sphère orthogonale aux sphères S 4 , S 2 , S 4 , S 5 . 
Les sphères S 4 , S 2 , S 3 , S 4 , S 5 , qui sont deux à deux ortho¬ 
gonales, forment un pentasphère P dont nous désignerons les 
rotations par !•, ?), Ç, p, q , r, X, p., v, p (*). Trois de ces rota¬ 
tions sont milles, à savoir Ç, v, p. On peut, en outre, disposer 
de S 4 de manière que r soit nulle. 
2. Les surfaces cerclées peuvent être réparties en trois 
classes : 
Première classe . Il n’y a pas de courbe à laquelle le cercle P 
soit constamment tangent. 
Deuxième classe . Le cercle F a une enveloppe qu’il touche 
en un seul point. 
Troisième classe. Le cercle F a une enveloppe qu’il touche en 
deux points. La surface est alors un périsphère. 
(*) Nous avons exposé d’une manière détaillée la théorie du pentasphère à un 
paramètre dans un travail intitulé Recherches sur les systèmes triples orthogonaux , 
qui paraîtra prochainement dans les Mémoires de la Société royale de Liège, 
3 e série, tome XI« 
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