A. Demoulin. — Sur les surfaces cerclées. 
4 . Les coordonnées x i9 x 2 , ..., x 5 d’un point quelconque M 
du cercle Y peuvent s’exprimer comme il suit : 
(3) x± = 0, x 2 = 0, x 3 = 2£, x 4 = 1 — æ = i( 1 -J- 
et l’on a 
/ &r 4 = [i(l — t 2 ) + A(1 + t 2 ) + Zqt]du, 
i 8 æ ? = [yi (1 — J 2 ) + ip(i + J 2 ) — %pt] du, 
(4) ' &r 3 = Ut, 
j 8 æ 4 = — %tdt, 
[ 8 æ 5 = %itdt. 
Soit a i l’inverse du rayon de la sphère S z . L’élément ds de 
l’arc décrit par le point M est donné par l’égalité 
(a 3 x 3 + a 4 x 4 + a^x^fds 2 = 2 ox\. 
Celle-ci peut s’écrire, en tenant compte des formules (3) et (4), 
[U 3 t + 0 4 (1 — t 2 ) + w 5 (l + l 2 )] 2 ds 2 
= {[(5 — ti)t 2 — %qt — (5 + A)] 2 
+ [('0 — i[k)l 2 + %pt — (r\ + ?p)] 2 j du 2 -f Adt 2 , 
ou, en désignant par F (u, t) le polynôme du quatrième degré 
en t qui est entre accolades, 
(5') [U 3 t -j- a 4 (l — t 2 ) + ia 5 ( 1 + t 2 )] 2 ds 2 = F (u, t)du 2 + Ut 2 . 
5 . En nous appuyant sur la formule précédente, nous allons 
démontrer le théorème suivant, dû à M. Darboux (*) : 
Une surface cerclée S étant donnée , il existe une surface 
cerclée S f dépendant d’une fonction arbitraire et telle que l'on 
puisse établir entre les surfaces S et une correspondance con¬ 
forme conservant les génératrices circulaires. 
(*) C. Darboux. Leçons sur la théorie des Surfaces, 4 e Partie, note IX. 
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