A. Demoulin. — Sur les surfaces cerclées. 
Attachons, comme au n° 1 , au cercle générateur T de £ le 
pentasphère P. Le ds 2 de la surface 2 sera défini par l’égalité (5). 
Soit P' un pentasphère dépendant, comme P, du paramètre u 
et désignons par Si, S 2 , S 5 les sphères qui le composent. 
Les sphères S,- et Si (i = 1, 2, 5) étant supposées homo¬ 
logues, choisissons le pentasphère P' de manière qu’il ait les 
mêmes rotations que P, sauf la rotation r que nous désignerons 
par v. L’intersection T f des sphères Si, S 2 engendre une 
surface 2 '. Montrons que cette surface jouit de la propriété 
indiquée dans l’énoncé. 
Les coordonnées x\, ..., #£ de tout point M' de T’ peuvent 
s’exprimer comme il suit : 
x[ = 0, x' 2 = 0, x 3 = % x 4 = i — z 2 , x's = i(l + Z 2 ). 
Si a'i désigne l’inverse du rayon de la sphère Si, l’élément ds' 
de l’arc décrit par le point M' est donné par la formule 
Z [2aÿ -Mi( 1 — Z 2 ) + + Z 2 )]'W* 
(6) [(i - A) t 2 - *qt - (5 + Ù)f 
( + [(71 — «»Z 2 + 2/tZ — (ri + 7*[A)] 2 } du 2 + 4dZ 2 . 
Établissons entre les surfaces S et 2 ' la correspondance ponc¬ 
tuelle dans laquelle M et M' sont deux points correspondants. 
Cette correspondance conserve évidemment les génératrices 
circulaires et elle est conforme, car le rapprochement des 
égalités (5) et ( 6 ) montre que le rapport ^ est indépendant 
de du et de dt. Le pentasphère P' dépendant de la fonction 
arbitraire X, le théorème de M. Darboux est démontré (*). Pour 
déterminer le mouvement de P', et par suite la surface il faut 
intégrer un système de cinq équations différentielles linéaires. 
(*) Nous avons déjà implicitement établi ce théorème au n° 15 de notre mémoire 
Sur les Surfaces réglées , les Surfaces cerclées et les Surfaces à ligne de courbure planes 
dans un système, inséré dans le Bulletin de la séance du 2 août 1919. En effet, la 
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