A. Üernoulin. — Sur les surfaces cerclées. 
8. Cherchons les surfaces de la première classe qui répondent 
à la question. Pour ces surfaces, la sphère S ne se réduit pas à 
un point. Prenons-la pour sphère S 5 . Alors, l’équation (9) 
devant se réduire à x 5 = 0, on aura c = c' = 0, et les équa¬ 
tions (8) donneront, par suite, 
X==0, 
TpOj 
£ + 
q — ij) 
a 
b 
l — ir\ 
(l + j P 
( 10 ) 
(H) ‘ 
U/ U 
Â ces relations entre les rotations du pentasphère P, il faut 
joindre les suivantes, indiquées au n° 1 : Ç = 0, v = 0, p = 0. 
Or, les équations X = 0, p = 0, v = 0, p = 0 expriment que 
la sphère S 5 est fixe. Par suite, le problème à résoudre revient 
à déterminer un pentasphère satisfaisant aux conditions sui¬ 
vantes : la sphère S 5 est fixe, la rotation Ç est nulle et les rota¬ 
tions Ç, y), p, q vérifient les relations (10) et (11), les constantes 
a, b, a' , b' satisfaisant à l’inégalité 
(12) ab' — ba' ^ 0. 
9. Le cercle F étant orthogonal à la sphère S 5 , ses foyers 
F, F' se déplacent sur cette sphère. Soient 1, i, 0, 0, 0 les 
coordonnées du point F et 1, —i, 0, 0, 0 celles du point FC 
Lorsque les égalités (10) et a 2 -j- b 2 = 0 sont vérifiées, le 
point F décrit une droite. La réciproque est vraie. 
Lorsque l’égalité (10) et l’inégalité a 2 b 2 ^ 0 sont vérifiées, 
le point F décrit une courbe dont le cercle osculateur passe 
par F'. La réciproque est vraie. 
L’équation (11) donne lieu à quatre propositions toutes sem¬ 
blables aux précédentes et que nous nous dispenserons d’énoncer. 
On voit que les relations (10) et (11) expriment des pro¬ 
priétés des trajectoires des points F et FC Si ces relations sont 
vérifiées, ainsi que l’inégalité (12), le cercle T dont F, F' sont 
les foyers engendrera une surface de la première classe répon- 
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