A. Demoulin. — Sur les surfaces cerclées. 
dant à la question; car, pour satisfaire à la condition Ç = 0 , il 
suffira de choisir la sphère S 4 de manière que l’une de ses inter¬ 
sections avec T décrive une trajectoire orthogonale à ce cercle. 
10. Cela posé, examinons successivement les trois cas sui¬ 
vants : Premier cas : Les points F et F' décrivent des droites. 
Deuxième cas : Le point F décrit une courbe et le point F' une 
droite. Troisième cas : Les points F et F' décrivent des courbes. 
Premier cas. Si F et F' décrivent des droites quelconques, 
les relations (10) et (11) sont vérifiées. Four que l’on ait 
ab' — ba' ^ 0 , il faut et il suffit que ces droites ne se coupent 
pas. On peut évidemment établir entre les points F et F' une 
relation quelconque. Il est aisé de déterminer, parmi les sur¬ 
faces considérées, celles qui sont réelles. 
Deuxième cas. F peut décrire une courbe quelconque C et ¥' 
une droite quelconque d'. La relation entre les points F et F r 
s’obtient comme il suit : F étant donné, le point F' est l’inter¬ 
section de d' avec le cercle osculateur de C en F. Les relations 
( 10 ) et ( 11 ) sont vérifiées et l’on a ab' — ba 1 ^ 0 . 
Les surfaces ainsi obtenues sont nécessairement imaginaires. 
Troisième cas. Supposons que F et F' décrivent respective¬ 
ment des courbes C et C'. Pour que les relations (10) et (11) 
soient vérifiées, il faut et il suffit que le cercle osculateur de C 
en F passe par F' et que le cercle osculateur de C f en F' passe 
par F. Cette double condition est équivalente à la suivante : 
C et C' sont des asymptotiques de la surface lieu de la droite 
F F'. Celle-ci ne saurait être développable, mais elle peut se 
réduire à un pian, auquel cas C et C' coïncideront avec un cercle 
de la sphère S 5 . Alors, et alors seulement, on aura ab’ — ba' = 0. 
Donc, pour que ab’ — ba' soit 7 ^ 0, il faut et il suffit que la 
surface lieu de F F' soit gauche. On peut, dès lors, énoncer le 
théorème suivant, dû à M. Deinartres : 
Si ion coupe la sphère S 5 par une surface gauche de manière 
que les deux branches C et G de la courbe d'intersection soient 
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