A. Pemoulin. — Sur ies surfaces cerclées. 
des asymptotiques de la surface gauche, les intersections F, F' 
des courbes G, G' et d’une génératrice rectiligne variable de cette 
surface seront les foyers du cercle F générateur de la surface 
cherchée. 
On peut obtenir celle-ci par le raisonnement suivant, équiva¬ 
lent à celui qui a été indiqué par M. Fubini (loc cit.). Soient 
A, B ies intersections de F et de S 5 . La surface lieu de F et la 
surface lieu de AB se correspondent dans la transformation de 
M. Darboux, pour laquelle la sphère S 5 est le lieu des points 
doubles; donc, pour que les cercles F forment une famille iso¬ 
therme, il faut et il suffît que les droites AB forment une 
famille isotherme dans la métrique non euclidienne dont S 5 est 
la sphère fondamentale. Or, la surface réglée la plus générale 
jouissant de cette propriété est le lieu des binormales d’une 
courbe à torsion non euclidienne constante (Bianchi). On est 
donc ramené à déterminer les courbes à torsion non euclidienne 
constante (*). 
On peut établir le même résultat sans faire usage de la trans¬ 
formation de M. Darboux. Pour un choix convenable des 
sphères S 4 et S*, on a rj = 0,q = 0 et les équations (10) et (11) 
se réduisent à | = const. Alors la détermination du mouvement 
du pentasphère P et celle des courbes à torsion non euclidienne 
constante sont, au point de vue analytique, deux problèmes 
identiques. 
11. Il reste à déterminer les périsphères qui répondent à la 
question. La méthode du pentasphère mobile conduit au résultat 
suivant : Les périsphères isothermiques sont les surfaces qu’on 
obtient en soumettant les cônes et les cylindres aux oo 10 trans¬ 
formations conformes. Parmi ces surfaces figurent les surfaces 
de révolution, résultat évident a priori. 
(*) Pour la résolution de ce problème, nous renvoyons le lecteur au mémoire 
de M. Fubini. 
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1921 . SCIENCES. 
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