./. Neuberg. — Un problème sur les quadrilatères articulés. 
4 . L’équation (6) étant véritiée par 
a 2 
c 2 
les quatre points qui divisent les côtés d’un quadrilatère articulé 
soustractivement dans le rapport des cannés des côtés adjacents 
sont concycliques dans toutes les déformations du quadrilatère. 
5 . En égalant les deux membres de (7) à une même indéter¬ 
minée /, on obtient 
c 2 [X 2 — (f— a 2 — c 2 ) [Ji + a 2 == 0, 
à 2 X 2 — (/— b 2 — d 2 )X + d 2 = 0. 
Soient ^ et p. 2 , \ et 1 2 les racines des équations (8) ; pour 
qu’elles soient réelles, on doit avoir 
(f — a 2 — c 2 ) 2 — 4a 2 c 2 >0, (f— ¥ — d 2 ) 2 — 4M 2 > 0. 
Les premiers membres de ces inégalités s’annulent respec¬ 
tivement pour f === (a — cY ou (a -f- c) 2 , f = (b — d) 2 ou 
( b -f- d) 2 ; on conclut de là que les racines des deux équations (8) 
sont réelles si la quantité f est inferieure à la plus petite des 
quantités (a — c) 2 et (b — d) 2 , ou supérieure à la plus grande 
des quantités (a -f- c) 2 et (b -f- d) 2 . 
Les équations (8) donnent 
Appelons E et E\ F et F', G et G', H et H' les points qui 
divisent les côtés AB, BC, DC, AD harmoniquement dans le 
rapport des côtés adjacents. Il résulte des formules (9) qu'à 
chaque valeur de f correspondent deux points Y 1 et Y 2 qui 
divisent harmoniquement le segment FF', et deux points X 1 etX 2 
qui divisent harmoniquement le segment EE\ Si X A et Y 1 sont 
une solution de notre problème, X 1 et Y 2 , X 2 et Y 1? X 2 et Y 2 
en sont également des solutions. 
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