Séance du 5 novembre 192L 
M. Montel en 1912. Elle est faite ici d’une manière complète 
et elle se précise dans le théorème suivant : 
Soit f(x) une fonction holomorphe dans le voisinage de 
l'origine et représentée par le développement 
f{x) = a 0 -{- a±x + • • • + a p xP + Up+i% p+i + • * • 
où a p+1 7 ^ 0 ; il existe un nombre R ne dépendant que de a 0 , 
a A , ..., a P+1 tel que , dans un cercle de rayon supérieur à R, ou 
la fonction cesse d'être holomorphe , ou elle prend de p fois l'une 
des valeurs 0 ou 1. Si p = 0, on retombe sur le théorème de 
M. Landau. 
Dans cet énoncé, on fixe la valeur de f(x) et de ses p -j- 1 
premières dérivées en un point fixe (l’origine). Au lieu de cela, 
on pourrait assigner la valeur de f[x ) en p -f- 2 points fixes, ou 
encore les valeurs de f(x) et de ses dérivées successives en 
un certain nombre de points; mais il faut qu’il y ait en tout 
p —|— 2 conditions incompatibles pour un polynôme de degré p. 
Dans le troisième et dernier chapitre, l’auteur applique les 
résultats obtenus à l’étude d’une fonction uniforme dans le 
voisinage d’un point critique isolé. 11 suppose qu’il existe un 
chemin conduisant au point critique sur lequel la fonction est 
bornée, ce qui a certainement lieu dans le cas d’une valeur 
asymptotique, et il montre que l’on peut apporter des précisions 
sur la distribution des modules et des arguments des racines de 
f(x) — a au voisinage du point critique, sauf pour une seule 
valeur exceptionnelle de a. Ce sont là des résultats extrêmement 
importants qui s’apparentent au théorème si profond de 
M. Picard. 
On voit par ce rapide aperçu que le mémoire soumis au 
jugement de l’Académie est une contribution considérable à la 
théorie des fonctions analytiques et qu’il répond pleinement 
à la question proposée. Il contient un grand nombre de résultats 
nouveaux et fournit un nouveau témoignage de la fécondité des 
méthodes introduites dans l’analyse par M. Paul Montel. J’ai 
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