CL Servais. — Sur la Géométrie du Tétraèdre. 
Le point O de l’hyperboloïde des hauteurs, le plan a- et la 
sphère (O) sont dits associés relativement au tétraèdre. 
Tout plan cr normal à une directrice quelconque s du système 
réglé (h a h b h c h d ) est associé à un point O de l’hyperboloïde 
(, h a h b h c h d ). Car il est le plan de contact d’une sphère (O) et de 
la quadrique S conjuguée au tétraèdre et ayant pour axe de révo¬ 
lution la directrice s. Du centre O de cette sphère, on déduit le 
plan considéré a- par la propriété énoncée. 
Corollaire. — Le centre d’une quadrique de révolution conju¬ 
guée au tétraèdre AB CD et le plan associé sont deux éléments 
incidents et réciproquement. 
2. Les pôles A et A t du plan B CD relativement à la qua¬ 
drique S et à la sphère circonscrite (O) sont alignés sur le pôle 
de contact S de ces deux surfaces. Donc 
Le tétraèdre AB CD et son réciproque A 1 B 1 C 1 D 1 relativement 
à la sphère (O) associée au point O de /’hyperboloïde des hau¬ 
teurs du tétraèdre A 1 B 1 C 1 D 1 sont homologiques. Le centre et le 
plan d’homologie sont le pôle et le plan de contact de la 
sphère (O) et de la quadrique de révolution S conjuguée au 
tétraèdi'e AB CD et circonscrite à la sphère (O). 
Les sphères (O) associées aux points de V hyper boloïde 
(h a h b h c h d ) jouissent seules de la propriété que les tétraèdres 
réciproques AB CD, A 1 B 1 C 1 D 1 sont homologiques. 
En effet, soient S et <7 le centre et le plan d’homologie de 
deux tétraèdres AB CD, A 1 B 1 C 1 D 1 réciproques relativement à 
une sphère (O). Le produit de l’homologie (S, <r, AAJ par la 
polarité définie par la sphère (O) est une réciprocité qui fait 
correspondre aux sommets A, B, C, D les faces opposées du 
tétraèdre AB CD. Cette réciprocité involutive définit une qua- 
"drique 2 conjuguée au tétraèdre AB CD et circonscrite à la 
sphère (O) dans le plan d’homologie < 7 ; la surface £ est donc de 
révolution. 
642 
