Cl. Servais. — Sur la Géométrie du Tétraèdre. 
3. Les faces du tétraèdre A 1 B 1 C 1 D 1 rencontrent les diamètres 
OA, O B, OC, OD respectivement aux points A 2 , B 2 , C 2 , D 2 
conjugués respectifs des points A, B, G, D relativement à la 
sphère (O). Les intersections aoq, yy t , SB ± des faces homo¬ 
logues des tétraèdres ABCD, A 1 B 1 C 1 D 1 sont dans le plan 
d’homologie 7. Une droite quelconque / de ce plan 7 rencontre 
les faces du tétraèdre ABCD aux points A', B', G', D' situés 
respectivement sur les droites aoq, (3^, yy 1? 88 A . Les couples 
de droites (AA 2 , A 2 A'), (BB 2 , B 2 B'), (GC 2 , C 2 C'), (DD 2 , D 2 D') 
sont donc rectangulaires, et les sphères décrites sur les segments 
AA', BB', CG', DD' comme diamètres coupent orthogonalement 
la sphère (O). Par suite, 
Une droite quelconque 1 du plan 7 associé au point O de 
Thyperboloïde des hauteurs du tétraèdre ABGD coupe les faces 
de ce tétraèdre aux points A', B', G', D'. Les sphères décrites 
sur les segments AA', BB', GG', DD' comme diamètres coupent 
orthogonalement la sphère (O) associée au point O. 
4. Par une droite quelconque / de l’espace passent deux 
plans 7 , <j 1 normaux respectivement à deux directrices du système 
réglé (h a li b h c h d ). Cette droite l rencontre les faces du tétraèdre 
ABGD aux points A', B', G', D', et les sphères décrites sur les 
segments AA', B B', CG', DD' comme diamètres coupent ortho¬ 
gonalement les sphères (O), (OJ associées aux plans 7, 7 *. Par 
conséquent, 
Une droite quelconque 1 rencontre les faces d f un tétraèdre 
ABGD en des points A', B', G', D'; les sphères décrites sur les 
segments AA', BB', CG', DD' comme diamètres ont meme axe 
radical (*). 
Cet axe coupe l'hyperboloïde des hauteurs du tétraèdre ABCD 
en deux points O, O* ; les sphères (O), (OJ associées à ces points 
e - 
(*) P. Serret, Géométrie de direction , pp. 265-268. — J. Neuberg, Mathesis, 1904, 
p. 35. — Annales de la Société scientifique de Bruxelles , 1911, pp. 177-187. 
1921. SCIENCES. 
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