CL Servais. — Sur la Géomélrie du Tétraèdre. 
comme diamètres passe par le centre de la quadrique S conju¬ 
guée au tétraèdre AB CD et ayant pour axe de révolution la 
directrice s. 
10 . Dans l’inversion définie par une sphère (w) arbitraire¬ 
ment choisie, on désigne par A 2 , B 2 , C 2 , D 2 les homologues 
des sommets du tétraèdre ABCD ; les plans 04, f^, y 1 , o 1 menés 
par les points A 2 , B 2 , C 2 , D 2 normaux respectivement aux 
diamètres wA, wB, wC, wD sont les faces du tétraèdre A 1 B 1 C 1 D 1 
réciproque de ABCD relativement à la sphère (w). Les inter¬ 
sections aiOL i , pp i , yy 1 , 88 1 des faces homologues de ces tétraèdres 
sont des rayons d’un même système réglé. Une directrice l de 
ce système réglé rencontre les faces du tétraèdre ABCD aux 
points A', B', C', D'. 1 ^es sphères décrites sur les segments 
AA', BB', CC', DD' comme diamètres passent respectivement 
par les points A 2 , B 2 , C 2 , D 2 et coupent orthogonalement la 
sphère (w). Bar suite, 
Les intersections des faces homologues de deux tétraèdres 
ABCD, A 1 B i C 1 D 1 réciproques par rapport à une sphère (w) 
sont les directrices d’un système réglé ( 1 ) (*). Tout rayon 1 de ce 
système réglé rencontre les faces du tétraèdre ABCD en des 
points A', B', C', D'; les sphères décrites sur les segments 
AA', BB', CC', DD' comme diamètres coupent orthogonalement 
la sphère (w). 
11 . Si le centre de la sphère |w) appartient à l’hyperbo- 
loïde (a04, ( 3 ^, yy 1 , 88 A ), une directrice / du système réglé 
_(ao4, pp i? yy 1 , 88 4 ) passe par ce point o ; elle rencontre les faces 
du tétraèdre ABCD en A', B', C f , D' et les sphères (AA'), (BB'), 
(CC'), (DD') coupent orthogonalement la sphère (w). Leur axe 
radical coupe donc la droite / ; les projections orthogonales 
(*) Chasles, Mémoire de Géométrie, p. 692. 
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