Cl. Servais. — Sur la Géométrie du Tétraèdre. 
A", B", G", D" des sommets du tétraèdre A B CD sur l appar¬ 
tiennent respectivement aux sphères (AA'), (BB)', (CG'), (DD') 
et l’on a 
wA'. wA" = wB'. wB" = wC'. wC" = wD'. wD" = B 2 , 
B étant le rayon de la sphère (w). 
L’axe radical rencontre l’hyperboloïde des hauteurs (h a h b h c h d ) 
en deux points 0 4 , 0 2 , dont les plans associés a*, cr 2 passent 
par la droite / et sont tangents à la conique Soo (6). Les sphères 
associées (OJ,. ( 0 2 ) et la sphère («) forment un faisceau ( 4 ). 
Par le centre w de la sphère (w) passent trois plans ar ÿ , cr-, ay' 
oscillateurs à une parabole gauche orthogonale (tt 2 ) osculatrice 
aux faces du tétraèdre ABGD ; leurs points associés O,-, O', O” 
sont sur la directrice r i de la courbe. Les ternes (ay, ay, <r*') sont 
tangents au cône de sommet io, perspectif à la conique Hoo (6), 
forment une involution cubique du premier rang; car les 
trièdres (<r M oy, a-'') sont conjugués à un même cône (w). Il en 
résulte que les ternes de directrices (s*, sf s'/) du système 
réglé [/ i a h b h c h d ) menés par les triples de points (O*, O', 0| ) 
forment une involution cubique du premier rang, projective au 
système réglé (rf). Par suite, 
Le lieu des points associés Oj des plans oscillateurs oy, menés 
par un point fixe w aux paraboles gauches orthogonales (ttJ 
osculatrices aux faces du tétraèdre ABGD, est une biquadratique 
gauche de seconde espèce (w 4 ) dont les trisécantes sont des rayons 
du système réglé (h a h b h c h d ). 
Les hauteurs du tétraèdre ABGD sont les directions asympto¬ 
tiques de la biquadratique (w 4 ). 
Gar si le plan ay est normal à la hauteur h a du tétraèdre, la 
directrice s i est l’axe du cercle conjugué au triangle BGD, 
cercle considéré comme une quadrique dégénérée de révolution 
conjuguée au tétraèdre ABGD. Les foyers singuliers F, F' de 
cette quadrique sont symétriques relativement au centre H a ; 
l’associé 0 2 du plan a-* est le conjugué relativement au couple FF', 
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