L. Godeaux. -— Involution douée de trois points de coïncidence 
sixième ordre, de S 3 , possédant un point triple uniplanaire, 
et nous en concluons que les genres F sont p a = 3, p g = 3, 
P 2 = 6, ..., p (l) = 4. La surface F est un modèle bicanonique 
normal. 
Nous considérons ensuite le cas où F est transformée en 
elle-même par une homographie de période 7, présentant trois 
de ses points unis sur F. Cette homographie détermine, sur la 
surface F, une involution d’ordre 7 présentant trois points de 
coïncidence non parfaite. Nous construisons un modèle pro¬ 
jectif de la surface <f>, image de cette involution ; ce modèle est 
une surface normale d’ordre 6, de S 3 , passant doublement par 
les arêtes d’un trièdre et par une cubique plane. Elle est donc 
rationnelle. 
Nous montrons ensuite que, dans la variété des surfaces F, 
on trouve la surface de Humbert, c’est-à-dire la surface qui 
représente les couples de points d’une courbe a de genre 3, 
un point de la surface correspondant à deux couples formant 
un groupe canonique. Lorsque la courbe a est la quartique de 
Klein, la surface de Humbert possède une involution d’ordre 7, 
à trois points de coïncidence. Celle-ci est rationnelle. Cela 
étant établi, il est aisé de démontrer la rationalité de l’invo- 
lution d’ordre 7, présentant six points de coïncidence, apparte¬ 
nant à la surface représentant, à la manière ordinaire, les couples 
de points de la quartique de Klein. 
§ 1 er . — La surface F, de S 6 , intersection d’une hyper surface 
cubique et d’un cône projetant une surface de Véronèse d’un 
point extérieur. 
1. Considérons, dans un espace linéaire à six dimensions, 
S 6 , une hypersurface cubique Vjj et un cône projetant une 
surface de Véronèse d’un point extérieur 0 7 . Ce cône est une 
variété à trois dimensions d'ordrè 4, contenant oc 2 cônes qua¬ 
dratiques, les cônes projetant de 0 7 les oo 2 coniques apparte- 
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