appartenant à une surface algébrique de genre 3. 
3 . — Au moyen des formules (3), la surface F est trans¬ 
formée, birationnellement, en une surface F* d’équation 
ylyl + ylyl^iiyl yl yl y^i, 2/12/2) + i 
+ 2/12/4^2(2/!^ yl, ., 2/12/2) + > ( 6 ) 
+ 93(2/1, yl, ., 2/12/2) f= 0. J 
Recherchons quelles sont les singularités de la surface F*. 
Tout d’abord, l’équation (6) étant du troisième degré en î/ 4 
et du sixième degré séparément en y ± , y 2 , y 3 , le point A 4 est 
triple pour F*. D’autre part, le cône tangent à F* en A 4 a pour 
équation le coefficient de yl égalé à zéro, c’est-à-dire, actuelle¬ 
ment, y\ = 0. Le point A 4 est donc un point triple uniplanaire 
pour la surface F*. 
Recherchons si la surface F* peut posséder d’autres singula¬ 
rités en dehors du plan y ± = 0. 
Observons d’abord que la section de F* par plan y é = 0, 
y 4 = 0 , <p 3 = 0 , 
ne possède pas de point multiple* la forme <p 3 ayant été supposée 
générale. La surface F* ne possède donc pas de courbe multiple. 
Un point multiple isolé, distinct de A 4 , pour F* peut se 
présenter dans trois cas : 
a) Il correspond à un point multiple de l’hypersurface Vf situé 
dans la variété Vf; 
b) 11 correspond à un point de contact des variétés Vf et Vf; 
c) Il correspond à plusieurs points distincts de F. 
Les formes <p 4 , cp 2 , <p 3 étant générales, on pourra toujours 
supposer que les deux premiers cas ne se présentent pas. 
D’autre part, pour que le dernier cas puisse se présenter, le 
point multiple considéré doit être exceptionnel dans la corres¬ 
pondance définie par les formules (3). Or, nous avons vu qu’il 
y a, dans S 3 , un seul point exceptionnel qui est A 4 . Par suite, 
La surface F* d'ordre 6 possède comme seule singularité 
ponctuelle un point triple uniplanaire A 4 . 
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