L. Godeaux. — lnvolution douée de trois points de coïncidence 
4. — Il convient, pour notre but, d’examiner de plus près 
le point triple A 4 . 
En premier lieu, l’intersection de la surface F* avec le plan 
y i = 0 se compose de six droites : 
y, = 0, cp 3 (0, yi, yl y 2 y 3 , 0, 0) = 0. 
Désignons par C une courbe, section de la surface F* par un 
plan passant par A 4 . Pour étudier la singularité de C en A 4 , 
nous pouvons, sans nuire à la généralité, supposer qu’elle est 
précisément découpée par le plan y 3 = 0 ; nous obtenons alors, 
pour équation de cette courbe, 
ylyl + ylytyityl, yl, o, o, o, y ± y 2 ) + 
+ 2 /i 2 / 4 'f 2 ( 2 /L yl, 0 , 0 , 0 , y i y^+ ( 7 ) 
+ <p 3 (ylyl, 0 , 0, 0, y,y 3 ) p 0 . 
Cette courbe possède un point triple en A 4 , dont les trois 
tangentes coïncident avec la droite y ± =-{y 3 =) 0. De plus, si 
dans l’équation (7) nous faisons y ± = 0, cette équation se 
réduit à yl = 0. Donc les six intersections de la courbe C avec 
la tangente au point triple A 4 sont réunies en ce point. En 
d’autres termes, 
Les sections C de la surface F* par les plans passant par A 4 
sont des courbes ayant en A 4 deux points triples infiniment 
voisins successifs. 
En particulier, les plans passant par une des six droites com¬ 
munes à F* et au plan y i = 0 se décomposent en cette droite 
et en une courbe du cinquième ordre, ayant deux points doubles 
infiniment voisins en A 4 , c’est-à-dire un tacnode (la tangente 
tacnodale étant la droite considérée). 
5 . — Nous sommes maintenant en mesure de calculer les 
invariants de la surface F* et, par suite, de la surface F. 
Considérons un plan a passant par A 4 et la courbe C située 
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