L. Godeaux .— Jnvolution douée de trois points de coïncidence 
7.— Nous allons faire voir, avant de poursuivre l’étude de 
Finvolütîon I 7 , que la surface F 4 possède les mêmes caractères 
invariants que F. Dans ce but, nous étudierons la surface F* que 
les formules (3) font correspondre, dans S 3 , à F t . 
Cette surface a pour équation 
ylyl -H yiy^hylys + Kyîÿï - 1 - ^yîy 2 ) + ^yly* + ^yly* + ^yiy, = o. 
Etudions les singularités de cette surface. 
Le point A 4 est triple uniplanaire, le plan tangent étant 
y i '=. 0. L’intersection de la surface F* avec le y i = 0 se com¬ 
pose actuellement des deux droites y i = y 2 = 0; y i = y 3 = 0. 
Ces deux droites sont simples pour F*; le long de la première 
d’entre elles, F* a, en chaque point, un contact 5-ponctuel 
avec le plan y 1 =f= 0 . 
La section de F* par le plan y i = 0, 
y 4 = 0, a ± yiy 2 + a 2 yly 3 + a ^ yly ^ — 0, 
ne possède pas de point multiple; donc F 4 est dépourvue de 
courbes multiples. 
Il résulte de l’analyse faite plus haut pour la surface F* (n° 3) 
que F* pourrait présenter, éventuellement, en dehors de À 4 , les 
singularités suivantes : 
a) Un point multiple provenant d’un point multiple de Vf 
situé dans la variété Y^; 
b) Un point double conique provenant d’un contact ordinaire 
des variétés Vf, V 3 ; 
c) Un point triple provenant d’un contact du second ordre 
des variétés Vf, Y*«. 
On vérifie aisément que les dérivées par rapport aux x de 
l’équation de la variété Y^ définissant F 4 ne peuvent être milles 
en un point de VJ, ce qu’exclut le premier cas a). 
Le deuxième est sans intérêt pour nous, les points doubles 
coniques étant, comme on sait, sans influence sur les surfaces 
adjointes à une surface algébrique de S 3 . 
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